beladina27: GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA

Assalamualaikum.. Good night,
Ayo kita belajar tentang garis-garis istimewa pada segitiga. Simak dan perhatikan baik-baik penjelasan bu guru ya..... ^_^

1) Garis Berat
Garis berat adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua sama panjang.

Garis-garis beratnya adalah AD, BE, CF. Titik potong ketiga garis beratnya disebut titik berat (titik P).

Teorema 1
Garis-garis berat dalam segitiga berpotongan atas bagian yang perbandingannya 2 : 1.
AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1

Bukti:
Hubungkan D dan E maka DE//AB.
Karena D dan E berturut-turut adalah titik tengah BC dan AC, maka DE = 1/2 AB (AB : DE = 2 : 1).
Lihat $\Delta ABP$ dan $\Delta DEP$ .
$\angle ABP = \angle DEP$ (sudut dalam berseberangan)
$\angle APB = \angle DPE$ (sudut bertolak belakang)
$\therefore \Delta ABP\sim \Delta DEP$ (sebangun)
Jadi, AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1 (terbukti).

Teorema 2
Jika ${z}_{a}$ , ${z}_{b}$ , ${z}_{c}$ berturut-turut adalah garis berat ke sisi a, b, c maka
${z}_{a}^{2}=\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{1}{2}{c}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}$
${z}_{b}^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}{c}^{2}-\frac{1}{4}{b}^{2}$
${z}_{c}^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{1}{4}{c}^{2}$

Bukti:
Menurut teorema Stewart,
${z}_{a}^{2}\cdot a={b}^{2}\cdot \frac{1}{2}a+{c}^{2}\cdot\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}a\cdot a$
$a\left ({z}_{a}^{2} \right )=a\left (\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{1}{2}{c}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2} \right )$
${z}_{a}^{2}=\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{1}{2}{c}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}$ (terbukti)

2) Garis Bagi
Garis bagi adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi dua sama besar.

Garis-garis baginya adalah AF, BD, CE. Titik potong ketiga garis baginya disebut titik bagi (titik P).

Teorema 1

Garis yang membagi sisi didepannya menjadi dua bagian yang berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.
p : q = b : a

Bukti:
Lihat $\Delta CDE$ dan $\Delta CDF$ .
$\angle ECD=\angle FCD$ (sudut dari garis bagi)

(berhimpit)
$\angle CDE=\angle CDF$ (jelas)
$\therefore \Delta CDE\cong \Delta CDF$ (kongruen)

Tarik garis $DE\perp AC$ dan $DF\perp BC$ , maka DE = DF ( $\therefore \Delta CDE\cong \Delta CDF$ ).
Lihat $\Delta CBD$ dan $\Delta CAD$ .
$(i)Luas\Delta CBD:Luas\Delta CAD= \frac{1}{2}\cdot BC\cdot DF:\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DE$

(ii) Jika garis tinggi dari titik C adalah ${t}_{c}$ (CD).
$Luas\Delta CBD:Luas\Delta CAD= \frac{1}{2}\cdot {t}_{a}\cdot BD:\frac{1}{2}\cdot {t}_{a}\cdot AD$

Jadi,

(terbukti)

Teorema 2

Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah dikurangi hasil kali bagian sisi dihadapannya.
${CD}^{2}=ab-pq$

Bukti:
CD adalah garis bagi, maka a : b = q : p atau ap = bq.
Menurut teorema Stewart,
   ${CD}^{2}\cdot c={a}^{2}\cdot p+{b}^{2}\cdot q-p\cdot q\cdot c$
   ${CD}^{2}\cdot c=a\left ( a\cdot p \right )+b\left ( b\cdot q \right )-p\cdot q\cdot c$
   ${CD}^{2}\cdot c=a\left ( b\cdot q \right )+b\left ( a\cdot p \right )-p\cdot q\cdot c$
   ${CD}^{2}\cdot c=abq+abp-pqc$
   ${CD}^{2}\cdot c=ab\left ( q+p \right )-pqc$
   ${CD}^{2}\cdot c=abc-pqc$
${CD}^{2}=ab-pq$ (terbukti)

3) Garis Tinggi
Garis tinggi adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi dihadapannya.

Garis-garis tingginya adalah AE, BF, CD. Titik potong ketiga garis tingginya disebut titik tinggi (titik P).

Teorema 1

Dua garis tinggi dalam segitiga berbanding terbalik dengan sisinya.
${t}_{a}:{t}_{b}=b:a$

Bukti:
$Luas\Delta ABC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {t}_{a}$
$Luas\Delta ABC=\frac{1}{2}\cdot b\cdot {t}_{b}$

Sehingga diperoleh,
$\frac{1}{2}\cdot a\cdot {t}_{a}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot {t}_{b}$
${t}_{a}\cdot a={t}_{b}\cdot b$
${t}_{a}:{t}_{b}=b:a$ (terbukti)

Teorema 2
Jika diketahui $\Delta ABC$ ,

dan ${t}_{a}$ , ${t}_{b}$ , ${t}_{c}$ berturut-turut adalah garis tinggi pada sisi a, b, c maka
   ${t}_{a}=\frac{2}{a}\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}$

   ${t}_{b}=\frac{2}{b}\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}$

   ${t}_{c}=\frac{2}{c}\sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}$

Bukti:
(menunggu update yaa ^_^ . . . . aku capek ngetiknyaaaaa)

4) Garis Sumbu
Garis sumbu adalah ruas garis yang membagi sisi segitiga menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut.

Garis-garis sumbunya adalah k, l, dan m. Titik potong ketiga garis sumbunya disebut titik sumbu (titik P).

** FINISH **

Selamat belajar . . . Semoga sukses . . .
Jika ada ada pertanyaan, kritik, atau saran, silahkan . . . . . . . . . . . . . ^_^

Good night, saya ngantuk (Monday, 27 May 2013, 1:43 AM)